Etrange géométrie

Il existe un grand nombre de surfaces géométriques étranges. Par étrange, je signifie que ça ne ressemble à rien de réel qu’on connaisse autour de soi. L’informatique permet d’en donner des représentations extrêmement esthétiques. Avant cela, seul le concepteur en avait une image un peu précise, pour les autres il était difficile de se faire simplement une idée.
Je présente ici deux types de surfaces.
Tout d’abord les surfaces unilatères, c’est à dire les surfaces n’ayant qu’un seul côté. La plus simple est le ruban/anneau de Moebius, facile à fabriquer. Un seul côté, et un seul bord. Les choses se compliquent pour les surface unilatères sans bord. Une surface unilatère est non-orientable. 

 
Quelques surfaces classiques : la bouteille de Klein, le tore unilatère (très proche du précédent), le plan projectif, la Cross Cap, la surface romaine, la surface de Boy. Rien ne prouve qu’il n’y en ait pas d’autres. Ces surfaces se traversent elle-mêmes dans D³. Leurs présentations graphiques ou animées sur Google sont réellement édifiantes. Visiter également le site de Jean-Pierre Petit qui a réalisé des travaux extrêmement pédagogiques sur ce sujet. Cf. sa BD ‘le topologicon’.
Un livre : ‘A Topological Picturebook’ de George K. Francis. 1987. Springer ed. 194 pp.
Ensuite : l’hypersphère ou la sphère dans la quatrième dimension.
Parlons 4D. Une sphère est définie comme lieu des points équidistants d’un point commun nommé ‘centre’, cette distance commune R étant appelée rayon. Dans D² (un espace plan de dimension 2), cet ensemble centré (une courbe x²+y²=R²) est appelé ‘cercle’. Dans D³ (notre bon vieil espace euclidien de dimension 3), cet ensemble est une surface x²+y²+z²=R² appelée ‘sphère’. La sphère ordinaire, quoi. Dans D⁴ … espace de dimension 4 dans lequel est « plongé » notre espace, cet ensemble est appelé ‘hypersphère’ … On connaît bien son équation x²+y²+z²+t²=R² (où t n’est pas nécessairement le temps) c’est un volume, mais on a pas d’idée précise de ce à quoi il ressemble. Évidemment, notre cerveau ne gère pas le 4D.
Voici une vidéo très bien faite qui permet enfin d’imaginer cet objet étrange : 
 
https://www.youtube.com/watch?v=dy_MUfBuq2I (tiré de http://www.ligloo.net )

Je n’ai pas tout saisi, mais ça ouvre vraiment les idées.

Maintenant, on peut essayer d’imaginer comment les surfaces unilatères présentées plus haut ne se traverseraient pas dans D⁴, cette traversée n’étant qu’une illusion 3D … mais c’est difficile.

Regardez les étonnantes illusions d’optiques de Kōkichi Sugihara. On nous présente un cylindre qui est vu comme un prisme dans le miroir (et inversement). Sans trucage. Ces objets (réalisés très minutieusement avec une imprimante 3D) sont bien des objets 3D, mais leurs projections 2D (écran d’ordinateur) minutieusement calculées sont vraiment bluffantes ! Voyez les vidéos de l’auteur.